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  Crescimento em biomassa, de bactérias a baleia-azul
24/01/2012
atualizado em: 27/03/2012
Até 2001, haviam alguns "buracos" conceituais nas leis que fundamentam o crescimento ontogenético, cuja variável principal é a biomassa incorporada para o organismo crescer e se manter ao longo de toda sua vida. Segue aqui seu desdobramento teórico.

Área(s) de Atuação que o Presente Artigo trata
Biologia
Meio Ambiente e Biodiversidade
Biomonitoramento
Diagnóstico, Controle e Monitoramento Ambiental


Crescimento em biomassa, de bactérias à baleia-azul

William Roberto Luiz Silva Pereira

Acessor técnico do I2S – Instituto Inteligência para Sustentabilidade

Na Universidade muitas vezes acompanhamos o desenvolvimento teórico de um trabalho de um dado pesquisador e temos a impressão de que “caiu a ficha” para todas as dúvidas que carregávamos antes de ter sido apresentado tal desenvolvimento. E os mais intelectuais classificam aquele trabalho como “elegante”. Eu chamo de “um trabalho sintetizador”, um trabalho que agrupa tudo o que foi desenvolvido anteriormente e empacota dentro de uma única teoria, organizando as peças do imenso quebra-cabeça teórico.

Não tinha idéia real do significado de um trabalho “elegante”, mas o achei ao entender, depois de um certo tempo, o artigo “A general model for ontogenetic growth” do físico Geoffroy Brian West e dos biólogos James H. Brown e Brian J. Enquist.

Ele não é difícil (claro que precisa de um pouco de treino em matemática). O difícil é o desenvolvimento teórico. E ao tentar encarar essa dificuldade, ficamos mais íntimos e vemos que os cientistas realmente merecem ter o artigo publicado na revista Nature.

A equação que explica e prevê o comportamento de incorporação de biomassa de um dado ser vivo é a equação de von Bertallanfy, que tinha sido desenvolvida por volta de 1940. As premissas são simples.

Vamos usar nós, Homo sapiens, como exemplo de um organismos que irá incorporar biomassa. Mas a equação é generalizada para qualquer organismos.

Para crescermos (e incorporar biomassa) precisamos realizar o que chamamos de metabolismo, que é a energia necessária para que o corpo trabalhe e transforme tudo o que se come (e respira) em energia para crescer e manter todas as nossas funções vitais.

O metabolismo pode ser dividido em duas frentes: a frente que transforma energia em biomassa e a outra frente que utiliza essa energia estocada para realizar as funções vitais. A primeira frente é chamada de catabolismo e a outra frente de anabolismo. Se estamos obesos é porque comemos muito e forçamos o nosso corpo a promover anabolismo (além do normal). Como não gostamos de nos esforçar, não forçamos a via contrária. E é óbvio que a frente que mais trabalha é a que promove anabolismo. Esse balanço energético é que move todos os seres vivos para realizar suas funções vitais, seu tempo de vida e que faz aumentar a biomassa corpórea.

Como matematizar isso? Precisaríamos entrar em definições e conceitos matemáticos e isso é chato de demonstrar, mas não é possível entender muito o que foi feito de Bertalanffy até West sem passar pelas equações. Vou tentar falar mais em "biologuês" do que em "matematiquês".

A equação proposta por Bertallanfy tem a forma da equação diferencial (Equação 1) que diz que a taxa de variação de biomassa no tempo é igual aM2/3 - bM. O primeiro termo pode ser demonstrado a partir de premissas geométricas. Bertallanfy definiu que a taxa de incorporação de biomassa (catabolismo) é restrita a área corporal do organismo e que a taxa de decaimento de biomassa é proporcional a energia consumida, sendo que essa energia depende da própria biomassa armazenada no organismo. Ao transformar a área A em massa M, surgiu o expoente de 2/3. Ele integrou essa equação, fornecendo sua solução, que chamada de equação de crescimento em massa de Bertallanfy (Equação 2).

Mas pela equação (2) não é possível saber até onde o ser vivo pára de crescer. Para saber quando isso acontece matematicamente deve-se fazer o tempo tender ao infinito (só matematicamente) e teoricamente chegaríamos na maior biomassa incorporada. Ao fazer isso surge a equação (3) (não é motivo para pânico, ela é dócil).

Na equação (3) surge o termo M, que é descrito como massa máxima ou massa assintótica. Essa equação serve para prever o comportamento da incorporação da biomassa de qualquer ser vivo existente ao longo do seu tempo de vida. A estrutura dessa equação se mantém assim desde 1940, apenas com leves desenvolvimentos teóricos sobre alguns termos. Há uma série de metodologias para se encontrar M: plotagem de Ford-Walford, Método de Gulland, Método de Beverton-Holt, entre outras.

Agora começam os avanços. Max Rubner estudou as formas de metabolismo de diversos organismos e se surpreendeu a encontrar uma relação alométrica B = B0M2/3. Ou seja, através de uma relação simples era possível prever a taxa metabólica de qualquer ser vivo, de uma mitocôndria até uma baleia-azul, bastando apenas conhecer a massa corporal média do organismo. Além do mais, o mesmo expoente da equação de von Bertallanfy apareceu para Rubner. Mas Max Kleiber analisou dados de mamíferos e questionou se o expoente era realmente 2/3 e sugeriu que ele estava mais próximo de 3/4. Uma série de testes estatísticos rigorosos demonstraram finalmente que o expoente era de 3/4 e não 2/3. Essa descoberta fez a equação de von Bertallanfy se tornar a   equação (4) podendo ser γ = 2/3     ou γ = 3/4 .

Como provar o surgimento de 3/4 por outras premissas diferentes das geométricas? Quem fez isso foram novamente o trio West, Brown e Enquist, no “A general model for the origin of allometric scaling laws in biology” de 1997. Para provar isso eles precisaram da Física dos Fluídos, da Teoria dos Fractais e de uma série de hipóteses e fórmulas matemáticas. As derivações levaram ao surgimento do expoente de 3/4. Eles concluíram que o numerador está relacionado a forma tridimensional de organismos (salvo os platelmintos e os briozoários), que também vivem num mundo tridimensional. Os organismos tomam recursos do ambiente, transformam e transportam para todo o corpo através de uma rede que se ramifica numa escala de 4 e como organismos de diferentes tamanhos tem diferentes necessidades por recursos e operam em diferentes escalas espaciais e temporais, o valor de 4 pode estar relacionado a uma maximização evolutiva para que o transporte seja o mais eficiente possível. Interessante que o expoente de 3 surge em sistemas não-fractais, como motores de combustão e motores elétricos, mas o expoente de 4 é pervasivo em sistemas biológicos, as vezes fractais, as vezes não. Entende-se que um objeto fractal é aquele que é invariante por escala, ou seja, sua estrutura se mantém constante em todas as escalas observadas, no caso, a rede de ramificações do aparelhos circulatório dos seres superiores e das redes vasculares de plantas. O que intriga mais é que a taxa metabólica de uma simples mitocôndria e de um ser unicelular também respeita a lei de Kleiber. Parece que a intenção da natureza é sempre maximizar a distribuição, "invadindo" o mundo tridimensional.

Essa generalidade alométrica (uma relação que surge quando uma variável fisiológica ou ecológica é relacionada com a massa corporal elevada a um expoente múltipo de 4) fez o mesmo trio publicar em 1999 o artigo “The Fourth Dimension of Life: Fractal Geometry and Allometric Scaling of Organisms”. Eles afirmam que esse expoente (e os múltiplos dele) aparecem pelo fato da seleção natural ter maximizado a capacidade metabólica pela maximização da escala da superfície de trocas e pela eficiência interna aos organismos, pela maximização da escala da distância dos transportes e do tempo. Essa constatação também é robusta, pois é ubíqua na grande maioria das alometrias (mais de 100, a nível individual, populacional e ecossistêmico).

Por isso então West et al., usa o expoente de 4 no lugar de 3 na sua equação geral para crescimento ontogenético. Mas não para por aí.

Pela equação de von Bertallanfy não é possível tomar muitas conclusões a partir dos seus parâmetros. A constante de anabolismo a some, ficando apenas a constante de catabolismo b. Quando essa equação é plotada, surge uma forma sigmoidal (semelhante a curva gerada pela equação logística). É uma fórmula inerte.

Então o físico e os biólogos interconectaram essas quatro equações (equações 5, 6, 7 e 8):

E quando integrou a equação de Bertallanfy-Richards, entregou-a na seguinte forma (equação 9):

O que o trabalho de West et al. tem que os outros não têm?

Primeiro, a plotagem é muito mais robusta do que o método de Ford-Walford, Gulland, etc., pois essa equação descreve a razão entre a massa atual e a massa assintótica e necessariamente, no lado esquerdo da equação (9) a razão ficará igual a 1 quando m = M. Isso facilita o ajuste da equação aos dados. E quando o ajuste é feito M surge quase num passe de mágica (mas isso é ciência!).

Eles demonstraram que a é proporcional a constante de Kleiber B0, ou seja, é possível interconectar a constante de anabolismo a taxa metabólica que esse ser vivo utiliza para crescer. Pela relação a = B0mc /Ec  sendo mc a massa celular e Ec  a energia necessária para criar uma nova célula eles demonstraram ao inserir os valores conhecidos na literatura que essa relação está correta.

A relação M = (a/b)4 surge quando ele deriva a equação de Bertallanfy-Richards e iguala a 0, demonstrando que a massa máxima acontece quando a razão entre a constante de anabolismo e de catabolismo adquire um valor crítico elevado ao expoente de 4. Se conhecermos a massa assintótica, podemos obter o valor de b (que necessariamente tem que ser menor que a para fazer M ficar positivo. Por isso os organismos sempre terão a constante de anabolismo maior que a de catabolismo, caso contrário desrespeitaria a regra natural de crescer e incorporar biomassa. Portanto o modelo está biologicamente correto.

E daí podemos extrapolar para nós seres humanos modernos e obesos. Simplesmente estamos elevando os valores de a, já que b é fixo (quando não fazemos exercícios), fazendo também M subir. Se quisermos comer bastante e continuar magros, precisamos malhar muito para fazer b aumentar, fazendo a razão diminuir e M também diminuir. Essa é a equação geral de crescimento ontogenético aplicado aos obesos.

A “elegância” surge aqui. Eles definiram duas variáveis adimensionais: r e R. Inicialmente as fórmulas para essas duas variáveis não tem significado algum. Porém eles conseguem provar uma série de relações e a partir daí tiram as conclusões (equação 10).

Simplesmente r é a proporção da energia metabólica total que o organismo possuem e que é devotada para manutenção e outras atividades e R é a proporção de energia metabólica devotada para crescer. Há um ponto em que essas duas variáveis se encontram e esse é o ponto em que o organismo já usou 50% de sua energia para crescer. Com isso é possível prever em qual idade isso acontece.

O grupo demonstrou que uma vaca de 40kg (ou aproximadamente M/15 quando M = 600kg) já gastou metade de sua energia metabólica para crescer. Depois de um ano já alcançou metade do seu peso máximo e aloca somente 16% de energia para crescer. O restante da energia é alocada para manter as suas atividades vitais.

Por outro lado, o bacalhau quase sempre morre antes de alcançar M/2 (sendo que M = 25kg) pois tipicamente chega aos 6kg. Nesse estágio ainda ele está usando metade da sua potência metabólica para continuar o crescimento. Por isso os peixes têm crescimento indeterminado, junto com os répteis e moluscos.

West et al. conseguiram demonstrar que o bacalhau usa 41% de toda a sua energia total durante todo o seu tempo de vida pra crescer. E os peixes de modo geral atingem o tempo de maturidade quando ele adquire 70% de seu peso máximo. Portanto, pouca energia é devotada para manutenção da prole. Essa conclusão pode ser tirada porquê, além de desenvolver seu aparato reprodutivo, precisa manter outras funções vitais.

Esse é só um esboço. O grupo justificou todos as variáveis e parâmetros da interconexão dessas 4 equações, aplicou para uma série de seres vivos de crescimento determinado e indeterminado. Conseguiram unir processos metabólicos à unidade fundamental (nível celular), demonstrando que quando crescimento cessa, boa parte da energia é usada para repor células. Quase todos os parâmetros são quantificáveis, todos com fundamentos biológicos e baseados no princípio da conservação da energia e da lei de Kleiber.

Quando um físico se junta a biólogos surgem desenvolvimentos muito interessantes e importantes, da mesma maneira que ocorreu quando o físico Robert M. May se associou aos entomólogos Jonh H. Lawton e Michael P. Hassell desenvolvendo trabalhos sobre dinâmica de populações. E o que esses dois físicos têm de diferente dos demais é que seus trabalhos são acessíveis, simples, abrangentes e desbravadores. Abrem espaço para pesquisas futuras e tem aplicações bem práticas. Premissas reais, hipóteses fortes e interconectadas em cadeia e depois de um pouco de esforço, tudo fica muito claro.

É realmente um trabalho elegante.


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