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  Pearl-Verhulst versus Ricker - contínua versus discreta – estabilidade versus caos
25/02/2012
atualizado em: 03/03/2012
Nesse artigo iremos explorar duas equações fundamentais da ecologia teórica, apontando as suas similaridades, as diferenças e os desdobramentos que ocorreram nas equações chamadas "discretas".

Área(s) de Atuação que o Presente Artigo trata
Biologia
Meio Ambiente e Biodiversidade
Biomonitoramento


Pearl-Verhulst versus Ricker - contínua versus discreta – estabilidade versus caos

William Roberto Luiz Silva Pereira

Acessor técnico do I2S - Instituto Inteligência para Sustentabilidade

O modelo de Pearl-Verhulst e o modelo de Ricker são as equações que sustentam todo desenvolvimento teórico em torno dos fenômenos populacionais e das comunidades biológicas de  S espécies que interagem competitivamente. Elas possuem formas totalmente diferentes, estruturas e propriedades matemáticas particulares, mas incrivelmente elas geram resultados até certo ponto (frise esta parte) praticamente iguais.

Para elas funcionarem, ambas precisam ter os parâmetros principais alimentados: N(0) (Pearl-Verhulst) e Ninicial (Ricker), r e K. A taxa intrínseca de aumento natural e a capacidade-suporte são comuns entre as duas e N(0) e Ninicial representam o número de indivíduos que darão início aos processos populacionais que as equações processarão.

Porque contínua e discreta? Porque no processo matemático de derivação, a primeira foi concebida através de procedimentos advindos do cálculo diferencial e integral e a segunda de processos recursivos. Na derivação de uma equação, depois do problema original (os processos populacionais) terem sido matematizados, surge uma equação diferencial e o processos de integração fornece a sua solução. Já na segunda, o problema também é transformado em parâmetros matemáticos, porém o que recebemos é uma equação geral onde os processos de demonstração são obtidos pelo que os matemáticos chamam de indução.

Nos modelos contínuos simples, para encontrarmos N(t) basta imbutir os valores dos parâmetros e para valor de t(1,2,...) inserido, a fórmula fornece a densidade atingida exatamente no tempo N(t). Já na segunda, os valores são encontrados pelo método da iteração. Depois de inserido os valores dos parâmetros, devemos colocar uma população inicial e calcular. O resultado será Nt+1. Como desejamos encontrar o valor de Nt+2, devemos usar o valor encontrado de Nt+1 e aplicar a fórmula. E dessa maneira calcularemos até o tempo desejado (fig. 1).

Apesar da diferença estrutural, elas fornecerem os mesmos resultados. Se olharmos a fig. 2, até a quinta situação (saindo de r = 0,001 até r = 1,5) vemos que as duas curvas se sobrepõe fielmente. Portanto, ao analisar dados experimentais, tanto faz usar uma ou outra.

Mas quando os valores ficam acima de r = 2, algo começa a funcionar estranho com a equação de Ricker. Para r = 2 parece que a população sofre um tipo de desequilíbrio ao chegar na capacidade suporte, mas lentamente estabiliza. E a equação de Pearl-Verhulst continua funcionando sigmoidalmente.

Para r = 2,5, na forma de Ricker, a população segue um intenso sobe-desce de tempo em tempo, algo muito estranho de se considerar numa população natural. Para r = 3, o sobe-desce fica caótico e não é possível mais saber onde ela irá parar de subir ou descer. E isso se mantém para r = 3,5 e r = 4. E a equação de Pearl-Verhulst continua mantendo a sua forma original.

O caos não é uma propriedade geral das populações biológicas, pelo contrário, é exceção. Ela é uma propriedade matemática e surge somente nas equações discretas, não nas contínuas e essa teoria explica alguns fenômenos físicos, onde os modelos matemáticos descritivos de certos fenômenos geram dinâmicas estranhas a partir de valores críticos para os parâmetros do sistema.

Quem assistiu o filme “Efeito Borboleta” irá entender outra propriedade dos sistemas dinâmicos. Como podemos ver, a dinâmica caótica surge a partir de valores críticos para o parâmetro que determina o sistema. A outra propriedade dos sistemas caóticos é a dependência das condições iniciais. Se mantivermos a dinâmica caótica e alterarmos Ninicial para diferentes valores e acompanharmos a trajetória do sistema, veremos que ela fica diferente uma da outra (fig. 3). E o filme trata justamente disso. À medida que o garoto voltava para o passado e mudava um evento do cotidiano, o destino reservava os mais possíveis caminhos (e alguns deles bem trágicos). O filme explora muito bem a teoria do Caos.

Apesar de ser uma teoria muitíssimo interessante, ela tem pouca aplicação na biologia. Parece que a natureza evitou esse tipo de dinâmica (ver o artigo Alimentos, agrotóxicos e pragas: o que a ecologia tem a dizer). Nas populações biológicas, uma taxa de crescimento muitíssimo alta acarretaria um desgaste energético muito grande nas fêmeas. Elas teriam que encurtar muito o tempo de geração necessário para dar origem a uma prole. E nas espécies onde o imput de novos seres (fenômeno às vezes chamado de recrutamento) é alto, a sobrevivência de indivíduos adultos é baixíssima, pois a taxa de mortalidade nas idades iniciais é grande. Essa é uma estratégia de vida que algumas espécies adquiriram (uma estratégia em r), porém, se analisarmos o resultado líquido dessa estratégia (monitorando a própria população em intervalos de tempo definidos) o balanço entre nascimentos e mortes irá gerar um valor relativamente baixo para a taxa de crescimento. Como a população deve aumentar (caso contrário se extinguiriam) a quantidade de indivíduos que nascem deve sempre maior que a quantidade de indivíduos de morrem (birth – death = b – d = r). Micro-organismos parecem fugir dessa regra e podem gerar r altos. Um problemão para os epidemiologistas. Como entender populações de organismos que podem gerar dinâmicas caóticas? Bom, mas isso não é motivo de preocupações, pois eles são muito bons no que fazem. Prova disso é o controle do espalhamento da gripe do frango, da gripe suína, do rotavírus, do ebola, etc...

O que mais intriga é que no monitoramento de certas populações naturais às vezes surgem séries temporais com comportamento parecido a de uma população caótica. Isso ocupou a mente de muitos biólogo e ecólogos de todo mundo, mas atualmente sabe-se que existem outras maneiras de se representar essas dinâmicas sem a teoria do Caos. São os tão estudados ruídos ambientais.

Apesar dessas considerações, na ecologia teórica há diversas frentes de pesquisa que avançam na dinâmica de populações caóticas. Eles perdem um pouco da representatividade nos problemas ecológicos reais, mas não deixa de ser uma linha de pesquisa que fomenta a curiosidade de muitos cientistas. Os ecólogos Veijo Kaitala, Janica Ylikarjula, Esa Ranta e Per Lundeberg em 1997 publicaram um artigo Population dynamics and the colour of environmental noise fazendo uma população teórica flutuar caoticamente. Ele queria saber como o ruído ambiental regulava essas populações e verificou que o ambiente pode desfazer a dinâmica das populações caóticas, fazendo-as voltar para um regime mais estável.

A natureza guarda muitos mistérios e à medida que a ciência avança para tentar entender esse imenso mundo de detalhes, ela acaba também surpreendendo. O ato de explicar e organizar a natureza é um processo tão iterativo quanto as equações discretas de Ricker.


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